MOVIMIENTO PERIÓDICO
Cuando el movimiento se repite a intervalos de tiempo τ se le llama periódico, y a intervalos iguales de tiempo, todas las variables del movimiento (velocidad, aceleración, etc.), toman el mismo valor. El movimiento periódico mas simple es el armónico; frecuentemente se representa el movimiento armónico como la proyección sobre una línea recta, de un punto que se mueve en una circunferencia a velocidad constante: ω = velocidad angular ó la frecuencia circular, Т y f son el período y la frecuencia del movimiento armónico usualmente medidos en segundos y ciclos por segundo, respectivamente. ωm = frecuencia natural.
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)
Vamos a estudiar un movimiento llamado MAS, Movimiento Armónico Simple. Para ello, empezaremos viendo una serie de definiciones sencillas:
Movimiento periódico: un movimiento se dice periódico cuando a intervalos iguales de tiempo, todas las variables del mivimiento (velocidad, aceleración, etc.), toman el mismo valor.
Movimiento oscilatorio: Son los movimientos periódicos en los que la distancia del móvil al centro, pasa alternativamente por un valor máximo y un mínimo.
Movimiento vibratorio: Es un movimiento oscilatorio que tiene su origen en el punto medio, de forma que las separaciones a ambos lados, llamadas amplitudes, son iguales.
Movimiento vibratorio armónico simple: es un movimiento vibratorio con aceleración variable, producido por una fuerza que se origina cuando el cuerpo se separa de su posición de equilibrio.
Un resorte cuando lo separamos de su posición de equilibrio, estirándolo o comprimiéndolo, adquiere un movimiento vibratorio armónico simple, pues la fuerza recuperadora de ese resorte es la que genera una aceleración, la cual le confiere ese movimiento de vaivén.
Observando el movimiento del resorte, vemos que se desplaza entre dos puntos, desde la máxima compresión hasta la máxima elongación, pasando por un punto medio, de equilibrio. La distancia desde el punto medio a cualquiera de los extremos la llamamos AMPLITUD y la representamos por A.
La posición que ocupa la bola roja en cada momento con respecto al punto central la conocemos como ELONGACIÓN, x.
El tiempo en realizar una oscilación completa es el PERÍODO, representado por T y medido en segundos.
La FRECUENCIA es el número de oscilaciones por segundo que realiza y la representamos por n.
Para definir el movimiento tenemos que calcular su ecuación, donde veremos la relación entre las magnitudes que intervienen e influyen sobre él. Como cualquier movimiento, debemos encontrar una ecuación que nos relacione la posición (x) con el tiempo, es decir, encontrar la expresión de la posición en función del tiempo. Para ello vamos a partir de dos leyes muy conocidas en Física:
- Ley de Hooke: que determina que la fuerza recuperadora del resorte es proporcional a la posición y de signo contrario. La expresión de la ley es:
F = - Kx
- La 2ª ley de Newton: que nos viene a decir que toda aceleración tiene su origen en una fuerza. esto lo expresamos con la conocida:
F = ma
Es obvio que la fuerza recuperadora del resorte es la que origina la aceleración del movimiento, lo que supone que ambas fuerzas, expresadas arriba, son iguales. Luego:
donde hemos expresado la aceleración como la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo. A partir de esta ecuación encontramos dos soluciones para el valor de la posición en función del tiempo:
x = A sen(wt + q) y x = A cos(wt + q)
siendo x la elongación, A la amplitud, w la pulsación o frecuencia angular y q el desfase, que nos indica la discrepancia entre el origen de espacios (pinto donde empezamos a medir el espacio) y el origen de tiempos.
El valor de la frecuencia angular está relacionado con la constante recuperadora por la ecuación que viene a continuación:
VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN EL MAS
A partir de la ecuación de la posición o elongación (partimos de la 1ª ecuación de la de arriba) y, derivando con respecto al tiempo, obtenemos la ecuación de la velocidad en el MAS:
v = A w cos(wt + q)
Modificando ligeramente esta ecuación encontramos una expresión de la velocidad en función de x, la elongación:
Derivando con respecto al tiempo la velocidad, obtenemos la ecuación de la aceleración en el MAS:
a = - A w2 sen(wt + q)
de la que podemos obtener también una ecuación que la relaciona con la posición:
a = - A w2
Con las expresiones de la velocidad y de la aceleración podemos calcular fácilmente los valores máximos de ambas y los puntos de la trayectoria donde se dan estos valores. Quedan resumidos en la siguiente tabla:
Magnitud Ecuación Condición máximo Se da en
Velocidad X = 0
El punto de equilibrio
Aceleración
a = - A w2 X = A (X es máximo)
En los puntos extremos
Vamos a presentarte dos applets para corroborar estas últimas afirmaciones y que puedas observar visualmente, los puntos donde se alcanzan los valores máximos de ambas magnitudes.
El Movimiento Pendular
El movimiento de un péndulo corresponde al tipo de movimiento llamado M. A. S., o sea, Movimiento vibratorio Armónico Simple. El movimiento de un péndulo es periódico, pues sus variables se repiten de forma constante tras un cierto tiempo. La velocidad del péndulo en su movimiento adopta posiciones máximas en el centro y mínimas en los extremos; solo nos interesan los valores absolutos de los módulos de las velocidades.
Movimiento oscilatorio: Son los movimientos periódicos en los que la distancia del móvil al centro, pasa alternativamente por un valor máximo y un mínimo. Evidentemente el movimiento del péndulo es oscilatorio, observamos un punto de máxima separación (coincide con el valor de mínima velocidad) y un mínimo en el centro (máxima velocidad).
Movimiento vibratorio: Es un movimiento oscilatorio que tiene su origen en el punto medio, de forma que las separaciones a ambos lados, llamadas amplitudes, son iguales; el péndulo cumple esta condición, por consiguiente, podemos afirmar que el péndulo posee un movimiento vibratorio
APLICACIÓN: Comprobación Experimental del Movimiento de Giro de la Tierra
Pèndulo de Foucault Jean Bernard Léon Foucault
(1819 - 1868)
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